Семь мостов Кенигсберга – головоломка, которая привела к возникновению новой области математики

В восемнадцатом веке у жителей Кенигсберга была любимая забава – пройти через весь город так, чтобы пересечь каждый из семи мостов только один раз. Никто так и не придумал, как это сделать. Однако, эта игра однажды вызвала интерес у одного из величайших математиков в истории человечества, пишет УКРОП со ссылкой на mixstuff.

Рассчитываете ли вы время, чтобы проверить, как быстро сможете заполнить кофеварку или просто считаете по утрам шаги до автобусной остановки, в монотонности повседневной жизни есть что-то такое, что заставляет нас пытаться превратить ее в игру. Жители прусского города Кенигсберга восемнадцатого века (теперь, как известно, это Калининград) были такими же, как и все мы. Просто игра, в которую они играли с семью мостами в своем городе, однажды вызвала интерес у одного из величайших математиков в истории человечества.

ЧИТАЙТЕ: Отвечал за разгон Майдана: В партию Зеленского идет скандальный СБУшник Януковича

Кенигсберг был построен на берегу реки Прегель (Преголя), которая разделила город на четыре отдельных жилых массива. Люди перебирались из одного района в другой через семь различных мостов. Согласно легенде, популярным развлечением во время воскресных прогулок были попытки пройти через весь город так, чтобы пересечь каждый мост только один раз. Никто так и не придумал, как это сделать, но это вовсе не значит, что задача не имеет решения. Им просто нужно было обратиться к подходящему эксперту, чтобы узнать его.

В 1735 году мэр города Данцига (ныне польский Гданьск), расположенного в 120 километрах к западу от Кенигсберга, Карл Леонард Готлиб Элер, обратился к Леонарду Эйлеру с письмом, в котором просил о помощи в решении этой задачи от имени местного профессора математики по имени Генрих Кюн. Уже тогда Эйлер был знаменитым и весьма успешным математиком – он опубликовал свою первую книгу в течение года после этого письма, а за всю жизнь написал более 500 книг и статей.

Поэтому неудивительно, что сначала Эйлер подумал, что заниматься решением этой задачи ниже его достоинства, и написал в ответ: «Итак, вы видите, досточтимый сэр этот тип решения практически не имеет отношения к математике, и я не понимаю, почему вы обращаетесь с такой просьбой к математику, а не к кому-то еще, поскольку решение основано только  на здравом смысле и не зависит ни от одного из известных математических принципов».

Однако, в конце концов, Элеру и Кюну удалось убедить Эйлера, и он понял, что это был совершенно новый тип математики – «геометрия положений», сегодня известная как топология. В топологии точная форма или расположение объекта не имеют значения. Есть даже старая шутка о том, что тополог не в состоянии определить разницу между пончиком и кофейной чашкой, поскольку оба предмета имеют ровно одно отверстие. Об этой совершенно новой области математики до тех пор только писали, но никто еще не понимал, какие проблемы она способна решать. Семь мостов Кенигсберга были прекрасным экспериментальным подтверждением новой теории, поскольку задача не требовала каких-либо измерений или точных расчетов. Можно превратить сложную карту города в простой и понятный граф (схему), не теряя при этом никакой важной информации.

Хотя у кого-то может возникнуть соблазн решить эту задачу, наметив все возможные маршруты через город, Эйлер сразу осознал, что эта стратегия потребует слишком много времени и не будет работать с другими схожими задачами (что, если в другом городе будет, скажем, двенадцать мостов?). Вместо этого он решил на время отвлечься от мостов и пометил участки суши буквами A, B, C и D. Таким образом, он теперь мог описать путешествие через мост из района А в район В как АВ, а путешествие из района А через район В район D как АВD. Здесь важно отметить, что количество букв в описании маршрута всегда будет на единицу больше, чем количество пересекаемых мостов. Так, маршрут АВ пересекает один мост, а маршрут АВD – два моста, и так далее. Эйлер понял, что поскольку в Кенигсберге семь мостов, а для того, чтобы пересечь их все, маршрут должен состоять из восьми букв, значит, решение задачи потребует именно восьми букв.

Затем он придумал более общее правило, используя еще более упрощенную схему. Если бы у вас было всего два сухопутных участка, А и В, и вы пересекали мост один раз, то участок А мог бы быть там, где путешествие начиналось, или там, где оно заканчивалось, но вы находились бы на участке А только однажды. Если бы вы пересекали мосты а, b и c по одному разу, то оказались бы на участке А ровно два раза. Это привело к созданию удобного правила: если у вас имеется четное число мостов, ведущих на один участок суши, вы должны добавить к этому числу единицу, а затем разделить полученную сумму на два, чтобы выяснить, сколько раз этот участок должен использоваться в ходе путешествия. (в данном примере, добавив единицу к количеству мостов, то есть к 3, получаем четыре, а разделив четыре на два получаем два, то есть именно дважды в путешествии пересекается участок А).

Этот результат вернул Эйлера к первоначальной проблеме. Есть пять мостов, которые ведут к участку А, поэтому в восьмибуквенном решении, которое он ищет, его придется пересекать три раза. У участков В, С и D есть по два моста, которые ведут к ним, поэтому каждый из них должен пересекаться дважды. Но 3+2+2+2 – это 9, а не 8, хотя по условию нужно пройти только через 8 участков и пересечь 7 мостов. Это означает, что невозможно пройти через весь город Кенигсберг, использовав каждый мост ровно один раз. Другими словами, в данном случае задача не имеет решения.

Однако, как и всякий истинный математик, Эйлер на этом не остановился. Он продолжал работать и создал более общее правило для других городов с другим количеством мостов. Если в городе нечетное количество мостов, то существует простой способ выяснить, можете ли вы совершить такое путешествие или нет: если сумма количества появлений каждой буквы, обозначающей участок земли, на единицу больше, чем количество мостов (как, например, в восьмибуквенном решении, о котором упоминалось  ранее), такое путешествие возможно. Если же сумма больше этого числа, оно невозможно.

А как насчет четного количества мостов? В этом случае все зависит от того, с чего начать. Если вы начинаете с участка А и путешествуете по двум мостам, А в вашем решении появится дважды. Если вы начнете с другой стороны, то А появится только один раз. Если имеется четыре моста, тогда А появляется три раза, если этот участок был отправной точкой, или два раза, если не был. В общем виде это означает, что, если путешествие не начинается с участка А, он должен пересекаться вдвое меньшее количество раз, чем число мостов (четыре деленное на два дает два). Если же путешествие начинается с участка А, тогда он должен пересекаться на один раз больше.




Гениальность решения Эйлера заключается даже не в ответе, а в методе, который он применил. Это был один из первых случаев использования теории графов, также известной как теория сетей, весьма востребованной области математики в современном мире, заполненном транспортными, социальными и электронными сетями. Что касается Кенигсберга, в городе в конечном итоге появился еще один мост, который сделал решение Эйлера спорным, а затем британские войска разрушили большую часть города во время второй мировой войны. Сегодня и город и река имеют новые названия, но старинная задача живет в совершенно новой области математики.

Автор Игорь Абрамов

Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on linkedin
LinkedIn
В ТЕМУ
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ

Медведчук: Высокопоставленные лица предлагали мне покинуть страну

Как передает БУКВАЛЬНО, подозреваемый в госизмене глава политсовета ОПЗЖ Виктор Медведчук заявил, что высокопоставленные должностные лица уже в течение нескольких месяцев предлагают ему покинуть страну.

Об этом он сказал журналистам после посещения Офиса генпрокурора, где ознакомился с подозрением.

«На протяжении последних нескольких месяцев мне предлагают даже высокие должностные лица, передают о том, что лучше всего, наверное, мне надо покинуть, где-то отдохнуть или посетить. Я ответил им и отвечают вам: никто этого не дождется», — сказал Медведчук.

ЧИТАЙТЕ: Зеленский взял на вооружение тактику Путина: Если дорог кум, придется разговаривать

Он подчеркнул, что не собирается уезжать из Украины.

Адвокат Медведчука Богдан Коваль добавил, что его подзащитному предъявили подозрения по ст. 111 (государственная измена) и ст. 438 (нарушение обычаев войны).

Сам Медведчук прокомментировал это так: «У вас могут быть разные вопросы по поводу тех обвинений, которые изложены в подозрении, но уже адвокат сказал — есть 5 томов, и эти 5 томов мы будем изучать и будем дальше делать соответствующие выводы».

Береза потроллил Лещенко из-за выступления его жены в России

Как передает БУКВАЛЬНО, бывший народный депутат Борислав Береза высмеял попытку члена наблюдательного совета «Укрзалізниці» Сергея Лещенко оправдать выступление своей жены Анастасии Топольской (Dj Nastia) на секс-вечеринке в Москве. Политик опубликовал забавный кадр, в котором девушка изображена в образе проводницы.

ЧИТАЙТЕ: В СНБО насчитали в Украине 13 олигархов

Соответствующий снимок Борислав опубликовал на личной странице в Facebook. Он также отметил, что если жена Лещенко, как тот сам ранее заявлял, – это бренд Украины, то Минкульт просто обязан выделить средства на его поддержание. Кроме того, он пошутил, что стоит устроить ее на на УЗ.

Стефанишина: Украина будет членом НАТО, это уже подтверждено

Как передает БУКВАЛЬНО, вице-премьер-министр по вопросам европейской и евроатлантической интеграции Ольга Стефанишина заявила, что Украина точно станет членом НАТО. Это уже подтверждено генсеком Йенсом Столтенбергом и международными партнерами страны.

Однако это длительный процесс и может занять еще много лет. Комментарием она поделилась в эфире телеканала «Украина 24».

«Например, Северная Македония двигалась в направлении выполнения только Плана действий относительно членства фактически 20 лет. Только сегодня мы начинаем дискурс о получении ПДЧ – это работа, которая продлится несколько лет», – объяснила Стефанишина.

ЧИТАЙТЕ: СМИ показали элитный особняк Саакашвили под Киевом

В то же время добавила, что параллельно с этим Украина делает большой вклад в коллективную безопасность, участвует практически во всех доступных учениях Альянса, повышает совместимость украинских воинских подразделений с натовскими, приобщает к формированию стратегии НАТО по черноморской безопасности.

«Поэтому сам процесс евроатлантической интеграции уже происходит, он не обратный. Политическое решение будет принято. Я уверена, что в ближайшие годы, хотя не все зависит от Украины. Но подтверждение, что мы будем членами НАТО, уже есть. Важно, что мы сейчас начинаем эту работу, политические переговоры», – добавила Стефанишина.

Зеленский взял на вооружение тактику Путина: Если дорог кум, придется разговаривать

Зеленский взял на вооружение тактику Путина: Если дорог кум, придется разговаривать

Как передает БУКВАЛЬНО, лидер пророссийских сил в Украине Виктор Медведчук стал подозреваемым в деле о госизмене. Произошло это событие на фоне эскалации на Донбассе, концентрации войск РФ на границе и отказа Кремля от разговора с Киевом.

Своим мнением по поводу проблем Медведчука поделился в Facebook известный украинский журналист, участник минских переговоров Сергей Гармаш.

Он высказал уверенность, что дело Медведчука не скажется ни на минских переговорах, ни на в целом ситуации на Донбассе. И причина в том, что президент РФ Владимир Путин очень хочет личную встречу с американским коллегой Джозефом Байденом. Он не сделает ничего, что могло бы сорвать эти переговоры, которые намечены на лето 2021 года, считает Гармаш.

Кроме того, по его мнению, в Кремле считают новые проблемы Медведчука попыткой Вашингтона сорвать эти переговоры. Именно поэтому Путин не поддастся на эту воображаемую «провокацию».

ЧИТАЙТЕ: Медведчук выдал россиянам секретные данные об украинских военных

Гармаш подозревает, что в деле лидера «ОПЗЖ» президент Украины Владимир Зеленский взял на вооружение излюбленную тактику Путина во внешней политике — принуждение противника диалогу.

«Дорог тебе твой кум, давай хоть публично, хоть не публично разговаривать. Теперь его свобода зависит от тебя. А «русские же своих не бросают»», — озвучил журналист вероятную тактику Офиса президента Украины.

По мнению Гармаша, если Медведчук сядет в тюрьму — это значит, что диалог Зеленского и Путина не состоялся. А если «отвертится» — диалог был.
(далее…)

Зеленский взял на вооружение тактику Путина: Если дорог кум, придется разговаривать

Зеленский взял на вооружение тактику Путина: Если дорог кум, придется разговаривать

Как передает БУКВАЛЬНО, лидер пророссийских сил в Украине Виктор Медведчук стал подозреваемым в деле о госизмене. Произошло это событие на…
Власть бьёт тревогу: Военная политика Кремля может спровоцировать международный конфликт

Власть бьёт тревогу: Военная политика Кремля может спровоцировать международный конфликт

Военная политика Кремля на постсоветском пространстве не только угрожает странам Черноморского и Балтийского регионов, а может спровоцировать международный вооруженный конфликт…
ЭКCПЕРТЫ

О Путине, ценах, сигарах и попытке убийства шамана Габышева. ВИДЕО

ВИКТОР СУВОРОВ: Кто придумал Великую Отечественную? Зачем ее вычленили из Второй мировой войны? Придумал это товарищ Сталин. А зачем? А…

Провал "Сармата" и "Буревестника"? Сможет ли Россия грозить своими ракетами Западу без украинцев

В Кремле активно говорят о создании нового вооружения, но на деле ситуация выглядит удручающей, пишет БУКВАЛЬНО  со ссылкой на ДС.…

Создатель Pfizer сказал, когда может закончиться COVID-пандемия

Как передает БУКВАЛЬНО, благодаря появлению вакцин от коронавируса появился шанс в ближайшем будущем победить пандемию коронавируса. На это может потребоваться…